Кинетика распространения эпидемий в маломобильной популяции

[latexpage]

Стандартный метод учета пространственных эффектов в эпидемиологических задачах состоит во введении диффузионного члена, что приводит к решениям в виде бегущих волн (волны Фишера-Колмогорова). Однако, с точки зрения распространения инфекции в маломобильной популяции, диффузионное слагаемое (соответствующее случайному блужданию), вводимое по аналогии с теорией диффузионно-контролируемых реакций, выглядит довольно искусственно. Это особенно очевидно в случае заболеваний растений – они не двигаются вообще, или животных с высокой степенью оседлости (например, тюленей: перемешивание особей в пределах лежбища, в то время как передача инфекции между лежбищами происходит только путем контактов между особями, предпринимающими относительно редкие дальние перемещения между соседними лежбищами). Тем не менее, инфекционные волны обнаруживаются и в этой ситуации.

Мы рассматриваем волну распространения заболевания в популяции маломобильных особей при условии локального механизма передачи инфекции (между особями или частями популяции, находящимися в тесном контакте).

Такой механизм соответствует “контактным процессам”, известным в статистической физике. Популяция подразделяется на три типа особей, восприимчивых (S), инфицированных (I) и переболевших (приобретших иммунитет или погибших) (R), распределенных на ячейки с сильным локальным перемешиванием внутри каждой и передачей инфекции между соседними ячейками только путем контактов по их общей границе.

 

\begin{eqnarray*}
\Delta I(x, y)=\kappa S(x, y)\times\\
\left( \frac{1}{4}I(x+a, y)+\right.\\
\frac{1}{4}I(x-a, y)+\\
\frac{1}{4}I(x, y+a)+\\
\left.\frac{1}{4}I(x, y-a)\right) \Delta t
\end{eqnarray*}
 

Аналитическое представление в приближении непрерывной системы
\begin{eqnarray*}
\partial_t I &=&\kappa S\left( I+(a^{2}/4)\nabla
^{2}I\right)-R, \label{PDE} \\
\partial_t R &=&\tau^{-1}I, \\\nonumber
1&=&S+I+R
\end{eqnarray*}
может быть точно представлено в сопутствующей системе координат $x’=x-vt$, $v=2\sqrt{D(\kappa-\tau^{-1})}$ как
\begin{eqnarray*}
v\frac{dS}{dx’}&=&\kappa S(1-S)-DS\frac{d^2S}{dx’^2} +\frac{1}{\tau}S\ln S, \\
-\ln S&=&\kappa\tau R+ D\tau\frac{d^2 R}{dx’^2}=0.
\end{eqnarray*}

Тестирование модели было проведено путем сравнения с реальной динамикой эпидемии phocine distemper virus среди тюленей, обитающих на побережье Северного и Балтийского морей, в 1988 году.

Звездочки на графике выше маркируют моменты первой регистрации заболевания в подписанном рядом с ней географическом пункте, кружки – моменты 50% смертности. Линия, проведенная через среднее арифметическое этих моментов (точки), кроме первого пункта, позволяет найти постоянную среднюю скорость волны эпидемии, равную 1.47 км/день, которая хорошо согласуется со значением 1.43 км/день, рассчитанным в рамках предложенной модели.

Подробности представлены в статьях:
  • E.B. Postnikov, I.M. Sokolov. Continuum description of a contact infection spread in a SIR model. Mathematical Biosciences. 2007. V. 208. Iss.1. pp. 205–215.
  • U. Naether, E.B. Postnikov, I.M. Sokolov. Infection fronts in contact disease spread. The European Physical Journal B. 2008. V. 65. pp. 353-359.